Question

10．${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（x+cos2x）dx=0．

Answer 1

分析 方法一：由${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（x+cos2x）dx=（$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$sin2x）${丨}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=sinπ=0；
方法二：${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（x+cos2x）dx=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$xdx+${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cos2xdx，由y=x为奇函数，y=cos2x为偶函数，由定积分的性质，${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$xdx=0，${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cos2xdx=2${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cos2x=2sinπ=0．

解答 解：方法一：由${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（x+cos2x）dx=（$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$sin2x）${丨}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{π}{2}$）²+$\frac{1}{2}$sin2（$\frac{π}{2}$）-[$\frac{1}{2}$（-$\frac{π}{2}$）²+$\frac{1}{2}$sin2（-$\frac{π}{2}$）]=sinπ=0，
${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（x+cos2x）dx=0，
故答案为：0；
方法二：${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（x+cos2x）dx=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$xdx+${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cos2xdx，
由y=x为奇函数，y=cos2x为偶函数，
∴由定积分的性质，${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$xdx=0，${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cos2xdx=2${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cos2x=2（$\frac{1}{2}$sin2x）${丨}_{0}^{\frac{π}{2}}$=2sinπ=0，
∴${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（x+cos2x）dx=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$xdx+${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cos2xdx=0，

点评 本题考查定积分的运算，考查定积分性质的应用，考查计算能力，属于中档题．