Question

15．已知平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$满足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$，又$（\overrightarrow c-\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$，则$\overrightarrow c•\overrightarrow a$的最大值等于5．

Answer 1

分析 由题意求得cosθ=$\frac{1}{2}$，可得$\overrightarrow{a}$ 与$\overrightarrow{b}$的夹角θ=$\frac{π}{3}$．设$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$=（2，0），$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OB}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OC}$．又$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$，可得$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，即C的轨迹为以AB为直径的圆，由此可得C的轨迹方程．

解答 解：∵$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$，又$（\overrightarrow c-\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$，
∴2•2•cosθ=2，即cosθ=$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{a}$ 与$\overrightarrow{b}$的夹角θ=$\frac{π}{3}$．
在平面直角坐标系中，设$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$=（2，0），$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OB}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OC}$．
又$（\overrightarrow c-\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$，∴$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
即C的轨迹为以AB为直径的圆．
∴C的轨迹方程为（x-$\frac{3}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1．
设C（x，y），则$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}$=2x．
∴当x取得最大值$\frac{5}{2}$时，$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$取得最大值5．
故答案为：5．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于中档题．