Question

6．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F （-2，0），且离心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M （m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好是椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的标准方程，根据焦点坐标和长轴长与短轴长的比联立方程求得a和b，进而可得椭圆的方程．
（2）设P（x，y）为椭圆上的动点，根据椭圆的性质可判断x的范围．代入$\overrightarrow{MP}$判断因为当|$\overrightarrow{MP}$|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，进而求得m的范围．点M在椭圆的长轴上进而推脱m的最大和最小值．综合可得m的范围．

解答 解：（1）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a²=16，b²=12．
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
（2）设P（x，y）为椭圆上的动点，
由于椭圆方程为$\frac{x2}{16}$+$\frac{y2}{12}$=1，故-4≤x≤4．
|$\overrightarrow{MP}$|²=（x-m）²+y²=（x-m）²+12（1-$\frac{{x}^{2}}{16}$）
=$\frac{1}{4}$x²-2mx+m²+12=$\frac{1}{4}$（x-4m）²+12-3m²．
因为当|$\overrightarrow{MP}$|最小时，点P恰好是椭圆的右顶点，
即当x=4时，|$\overrightarrow{MP}$|²取得最小值，而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1．
又点M在椭圆的长轴上，所以-4≤m≤4．
故实数m的取值范围是[1，4]．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程．求标准方程时常需先设椭圆的标准方程，根据题设中关于长短轴、焦点、准线方程等求得a和b，进而得到答案．