Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且3S_n=a_n+1-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设等差数列{b_n}的前n项和为T_n，a₂=b₂，T₄=1+S₃，求$\frac{1}{{b}_{1}•{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{2}•{b}_{3}}+…+\frac{1}{{b}_{10}{b}_{11}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系a₁=1，且3S_n=a_n+1-1，可得当n＞1时，3S_n-1=a_n-1，两式相减，可得a_n+1=4a_n（n≥2），再验证n=1的情况，即可判断数列{a_n}是首项为1，公比为4的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）依题意，可求得b_n=3n-2，利用裂项法可得$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），于是可求$\frac{1}{{b}_{1}•{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{2}•{b}_{3}}+…+\frac{1}{{b}_{10}{b}_{11}}$的值．

解答 解：（1）∵3S_n=a_n+1-1①，∴当n＞1时，3S_n-1=a_n-1 ②，…（1分）
①-②得3（S_n-S_n-1）=3a_n=a_n+1-a_n，则a_n+1=4a_n，…（3分）
又a₂=3a₁+1=4=4a₁，…（4分）
∴数列{a_n}是首项为1，公比为4的等比数列，
则a_n=4^n-1，…（6分）
（2）由（1）得a₂=4，S₃=21…（7分）
则$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}=4}\\{{T}_{2}=2{（b}_{2}{+b}_{3}）=22}\end{array}\right.$，得b₃=7，…（8分）
设数列{b_n}的公差为d，则b₁=1，d=3，…（9分）
∴b_n=3n-2，…（10分）
∴$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），…（11分）
∴$\frac{1}{{b}_{1}•{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{2}•{b}_{3}}+…+\frac{1}{{b}_{10}{b}_{11}}$=$\frac{1}{3}$[（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{28}$-$\frac{1}{31}$）]=$\frac{10}{31}$．…（12分）

点评 本题考查数列递推式的应用，考查等比关系的判定及等差数列、等比数列的通项公式的应用，突出考查裂项法，属于中档题．