Question

3．已知椭圆C的中心为坐标原点，其离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，椭圆C的一个焦点和抛物线x²=4y的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点$S\;（{-\frac{1}{3}\;，\;0}）$的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，说出点T的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线焦点的坐标为（0，1），设椭圆方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\;（{a＞b＞0}）$，求出a，b，c，即可求解椭圆方程．
（2）若直线l与x轴重合，求出以AB为直径的圆的方程，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是${（{x+\frac{1}{3}}）^2}+{y^2}=\frac{16}{9}$，联立两个圆的方程，得到切点坐标，然后证明：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0），若直线l不垂直于x轴，可设直线l：$y=k（{x+\frac{1}{3}}）$设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理以及$\overrightarrow{TA}•\overrightarrow{TB}$=0，推出$\overrightarrow{TA}⊥\overrightarrow{TB}$，得到结果．

解答 解：（1）抛物线焦点的坐标为（0，1），则椭圆C的焦点在y轴上
设椭圆方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\;（{a＞b＞0}）$
由题意可得c=1，$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=1$，
∴椭圆方程为$\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$…（3分）
（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1，
若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是${（{x+\frac{1}{3}}）^2}+{y^2}=\frac{16}{9}$
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=1\\{（{x+\frac{1}{3}}）^2}+{y^2}=\frac{16}{9}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}\right.$即两圆相切于点（1，0）…（5分）
因此所求的点T如果存在，只能是（1，0），事实上，点T（1，0）就是所求的点．…（6分）
证明：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0），若直线l不垂直于x轴，
可设直线l：$y=k（{x+\frac{1}{3}}）$设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x+\frac{1}{3}}）\\{x^2}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$$⇒（{{k^2}+2}）{x^2}+\frac{2}{3}{k^2}x+\frac{1}{9}{k^2}-2=0$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{-\frac{2}{3}{k^2}}}{{{k^2}+2}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{\frac{1}{9}{k^2}-2}}{{{k^2}+2}}\end{array}\right.$…（9分）
又∵$\overrightarrow{TA}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{TB}$=（x₂-1，y₂），
∴$\overrightarrow{TA}•\overrightarrow{TB}$=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=$（{x_1}-1）（{x_2}-1）+{k^2}（{x_1}+\frac{1}{3}）（{x_2}+\frac{1}{3}）$=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+（\frac{1}{3}{k^2}-1）（{x_1}+{x_2}）+（1+\frac{1}{9}{k^2}）$=$（1+{k^2}）\frac{{\frac{1}{9}{k^2}-2}}{{{k^2}+2}}+（\frac{1}{3}{k^2}-1）\frac{{-\frac{2}{3}{k^2}}}{{{k^2}+2}}+（1+\frac{1}{9}{k^2}）$=0…（11分）
∴$\overrightarrow{TA}⊥\overrightarrow{TB}$即：TA⊥TB，故以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．
综上可知：在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件．…（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．