Question

8．已知公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅+S₇=74，a₄是a₁和a₁₃的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}是首项和公比均为3的等比数列，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），由已知列式求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）写出等比数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}的通项公式，得到b_n的通项公式，再由错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
由a₅+S₇=74，a₄是a₁和a₁₃的等比中项，得：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d+7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=74}\\{（{a}_{1}+3d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+12d）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（2）∵{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}是首项和公比均为3的等比数列，
∴$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}={3}^{n}$，则${b}_{n}={3}^{n}{a}_{n}=（2n+1）•{3}^{n}$．
∴T_n=3•3¹+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ，
$3{T}_{n}=3•{3}^{2}+5•{3}^{3}+…+（2n-1）•{3}^{n}+（2n+1）•{3}^{n+1}$，
两式作差得：$-2{T}_{n}=9+2（{3}^{2}+{3}^{3}+…+{3}^{n}）-（2n+1）•{3}^{n+1}$
=$9+2•\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}-（2n+1）•{3}^{n+1}$=9-9+3ⁿ⁺¹-2n•3ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺¹=-2n•3ⁿ⁺¹．
∴${T}_{n}=n•{3}^{n+1}$．

点评 本题是等差数列与等比数列的综合题，考查了等差数列通项公式的求法，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．