Question

17．已知不等式x²+mx+3≤0的解集为A=[1，n]，集合B={x|x²-ax+a≤0}．
（1）求m-n的值；
（2）若A∪B=A，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用韦达定理，求出m，n，即可求m-n的值；
（2）若A∪B=A，B⊆A，分类讨论求a的取值范围．

解答 解：（1）∵不等式x²+mx+3≤0的解集为A=[1，n]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+n=-m}\\{1•n=3}\end{array}\right.$，∴m=-4，n=3，
∴m-n=-7；
（2）A∪B=A，∴B⊆A．
①B=∅，△=a²-4a＜0，∴0＜a＜4；
②B≠∅，设f（x）=x²-ax+a，则$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{1≤\frac{a}{2}≤3}\\{f（1）=1≥0}\\{f（3）=9-2a≥0}\end{array}\right.$，∴4≤a≤$\frac{9}{2}$，
综上所述，0＜a≤$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查集合的关系，考查分类讨论的数学思想，熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根的关系是解题的关键．