Question

2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，另一条直角边是$\sqrt{{b}^{2}-1}$，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是$\sqrt{{a}^{2}-1}$，表示出体积，根据不等式基本定理，得到最值．

解答 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，
三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，
∴另一条直角边是$\sqrt{{b}^{2}-1}$，
三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∴几何体的体积是V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$$\sqrt{{b}^{2}-1}$×$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∵在侧面三角形上有a²-1+b²-1=6，
∴V$≤\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{{b}^{2}-1+{a}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当侧面的三角形是一个等腰直角三角形，
故选：A．

点评 本题考查由三视图求几何体的体积，考查基本不等式的应用，本题是一个比较综合的题目，注意创造基本不等式的使用条件，得到结果．