Question

12．已知AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，CD是半圆的切线，AC平分∠BAD，AD交半圆于点E．
（Ⅰ）求证：AD⊥CD；
（Ⅱ）若AB=5，DE=1，求AE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OC，则OC⊥CD，由OA=OC可得∠OAC=∠OCA，即可得到∠DAC=∠OCA，再根据平行线的性质即可得到结果；
（Ⅱ）连接CE，证得△DEC～△CBA，求出DC，根据切割线定理即可求得结果．

解答 （Ⅰ）证明：连接OC，则OC⊥CD．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
又∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴AD⊥CD．
（Ⅱ）连接CE，∵AC平分∠BAD，
∴EC=CB，
∵∠DEC=∠CBA，
∴△DEC～△CBA，
∴$\frac{DE}{CB}=\frac{EC}{AB}$，
∴EC=$\sqrt{5}$，
∴DC=$\sqrt{E{C}^{2}-D{E}^{2}}$=2，
∵DC²=DE•DA，∴DA=4，
∴EA=3．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的证明，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．