Question

4．已知曲线C上的任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，直线l过点A（1，1），且与C交于P，Q两点；
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若A为PQ的中点，求三角形OPQ的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，可知曲线C的轨迹是以F（1，0）为焦点的抛物线，从而可求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线l的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可求三角形OPQ的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等．
∴曲线C的轨迹是以F（1，0）为焦点的抛物线
∴曲线C的方程为y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=2
因为y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
所以作差，可得直线l斜率为2，…（6分）
所以直线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1．
此时直线l与抛物线相交于两点．…（7分）
设T为l与x的交点，则|OT|=$\frac{1}{2}$，…（8分）
由y=2x-1与y²=4x，消去x得y²-2y-2=0，…（9分）
所以y₁+y₂=2，y₁y₂=-2，…（10分）
所以三角形OPQ的面积为S=$\frac{1}{2}$|OT||y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是正确运用抛物线的定义，正确运用韦达定理．