Question

14．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-5+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去参数t即可得到直线l的普通方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ将曲线C转化为普通方程；
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．

解答 解：（Ⅰ）直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-5+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（其中t为参数），消去参数t得普通方程y=x-4．
由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ．
由x=ρcosθ，y=ρsinθ以及x²+y²=ρ²，得
y²+（x-2）²=4；
（Ⅱ）由y²+（x-2）²=4得圆心坐标为（2，0），半径R=2，
则圆心到直线的距离为：d=$\frac{|2-0+4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
而点P在圆上，即O′P+PQ=d（Q为圆心到直线l的垂足），
所以点P到直线l的距离最小值为3√2-√2=2√2．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．