Question

5．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosα}\\{y=2\sqrt{3}+4sinα}\end{array}\right.$（α是参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C₁的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线C₂倾斜角为α，且过点（2，$\sqrt{3}$），若曲线C₁与直线C₂交于M，N两点，求|MN|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲线C₁的普通方程，即可求曲线C₁的极坐标方程；
（Ⅱ）|MN|的最大值为曲线C₁的直径8，由点（2，$\sqrt{3}$），与圆心的距离为$\sqrt{3}$，可得|MN|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosα}\\{y=2\sqrt{3}+4sinα}\end{array}\right.$（α是参数），普通方程为（x-2）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=16，
即x²+y²-4x-4$\sqrt{3}$y=0
∴曲线C₁的极坐标方程ρ=4cos$θ+4\sqrt{3}$sinθ；
（Ⅱ）|MN|的最大值为曲线C₁的直径8，
由于点（2，$\sqrt{3}$），与圆心的距离为$\sqrt{3}$，∴|MN|的最小值为2$\sqrt{16-3}$=2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．