Question

15．在三角形ABC中，$sinA=\frac{4}{5}，cosB=\frac{5}{13}$，则cosC=（　　）

• A． $\frac{33}{65}$或$\frac{63}{65}$
• B． $\frac{63}{65}$
• C． $\frac{33}{65}$
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 利用同角三角函数基本关系式可求sinB，cosA的值，将cosC=化成-cos（A+B），再利用两角和与差的三角函数公式计算．

解答 解：∵sinA=$\frac{4}{5}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin$\frac{π}{3}$，cosB=$\frac{5}{13}$$＜\frac{1}{2}$=cos$\frac{π}{3}$，可求sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$，可得：B＞$\frac{π}{3}$，
∴若A为钝角，则A＞$\frac{2π}{3}$，则A+B＞π，矛盾，
∴A为锐角，可得：cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，
∴cosC=cos（π-A-B）=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-$\frac{3}{5}×\frac{5}{13}$+$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{33}{65}$．
故选：C．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式，角的代换，计算能力．本题的关键是充分讨论A的大小范围，确定解的个数，考查了转化思想，属于基础题．