Question

20．已知非直角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，其中c=1，又$C=\frac{π}{3}$，若sinC+sin（A-B）=3sin2B，则△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{28}$．

Answer 1

分析 利用诱导公式、根据sinC+sin（A-B）=3sin2B求得sinA=3sinB，即a=3b，再利用余弦定理求得b的值，可得a的值，从而求得S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab•sinC 的值．

解答 解：非直角△ABC中，∵c=1，又$C=\frac{π}{3}$，若sinC+sin（A-B）=3sin2B，
则 sin（B+A）+sin（A-B）=6sinBcosB，
∴2sinAcosB=6sinBcosB，故有sinA=3sinB，a=3b．
由余弦定理知c²=a²+b²-2abcosC，代入3b=a，c=1整理可得b²=$\frac{1}{7}$，b=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，a=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{1}{2}$•$\frac{3\sqrt{7}}{7}$•$\frac{\sqrt{7}}{7}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{3\sqrt{3}}}{28}$，
故答案为：$\frac{{3\sqrt{3}}}{28}$．

点评 本题主要考察了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式、诱导公式的综合应用，属于中档题．