Question

12．若一个椭圆的内接正方形有两边分别经过它的两个焦点，则此椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可知：椭圆的通径长$\frac{2{b}^{2}}{a}$，则$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2c，由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，求得e²+e-1=0，根据椭圆的离心率取值范围，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：假设椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由椭圆与正方形的对称性可知：正方形的一边长为椭圆焦距为2c，
另一边长为通径长$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
则$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2c，
∴a²-c²=ac，由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，
整理得：e²+e-1=0，
解得：e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
由椭圆的离心率e＞0，
则e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故选C．

点评 本题考查椭圆的离心率的应用，考查椭圆的通径长度，考查计算能力，属于中档题．