Question

1．如图，在半径为40cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，点C，D在圆周上、
（1）设AD=x，将矩形ABCD的面积y表示成x的函数，并写出其定义域；
（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）OA=2$\sqrt{4{0}^{2}-{x}^{2}}$=2$\sqrt{1600-{x}^{2}}$，可得y=f（x）=2x$\sqrt{1600-{x}^{2}}$，x∈（0，40）．
（2）平方利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）AB=2OA=2$\sqrt{4{0}^{2}-{x}^{2}}$=2$\sqrt{1600-{x}^{2}}$，
∴y=f（x）=2x$\sqrt{1600-{x}^{2}}$，x∈（0，40）．
（2）y²=4x²（1600-x²）≤4×$（\frac{{x}^{2}+1600-{x}^{2}}{2}）^{2}$=1600²，即y≤1600，当且仅当x=20$\sqrt{2}$时取等号．
∴截取AD=20$\sqrt{2}$时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为1600．

点评 本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．