Question

7．过抛物线y²=4x的焦点，引倾斜角为60°的直线，交抛物线于A、B两点，则△OAB的面积为$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$y代入y²=4x得：y²-$\frac{3\sqrt{3}}{3}$y-4=0，S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|，由此能求出△OAB的面积．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
过F且倾斜角为60°的直线y=$\sqrt{3}$（x-1），
即x=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$y代入y²=4x得：y²-$\frac{3\sqrt{3}}{3}$y-4=0，∴y₁+y₂=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，y₁y₂=-4，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{\frac{48}{9}+16}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
故答案为$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系．在涉及焦点弦的问题时常需要把直线与抛物线方程联立利用韦达定理设而不求，进而利用抛物线的定义求得问题的答案．