Question

2．参加成都七中数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：

定价x（元/kg）	10	20	30	40	50	60
年销量y（kg）	1150	643	424	262	165	86
z=2lny	14.1	12.9	12.1	11.1	10.2	8.9

（参考数据：$\sum_{i=1}^6{（{x_i}-\overline x）}•（{y_i}-\overline y）=-34580$，$\sum_{i=1}^6{（{x_i}-\overline x）}•（{z_i}-\overline z）=-175.5$$\sum_{i=1}^6{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}=776840$，$\sum_{i=1}^6{（{y_i}-\overline y）}•（{z_i}-\overline z）=3465.2$）
（1）根据散点图判断，y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？
（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）．
（3）定价为多少元/kg时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_n，y_n），其回归直线$\widehat{y}$=$\widehat{b}$•x+$\widehat{a}$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）•（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n•\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n•\stackrel{-2}{x}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-n•$\widehat{b}$•$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）由散点图可知：z与x具有较强的线性相关性；
（2）求得样本中心点（$\overline{x}$，$\overline{y}$），则$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{1}-\overline{x}）（{z}_{i}-\overline{z}）}{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{-175.5}{1750}$≈-0.10，由$\widehat{a}$=$\overline{z}$-$\widehat{b}$•$\overline{x}$=15.05≈15，即可求得线性回归方程，则；
（3）年利润L（x）=x•$\widehat{z}$=x•${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$，求导，令L′（x）=0，即可求得年利润L（x）的最大值．

解答 解：（1）由散点图可知：z与x具有较强的线性相关性；
（2）由$\overline{x}$=$\frac{10+20+30+40+50+60}{6}$=35，$\overline{z}$=$\frac{14.1+12.9+12.1+11.1+10.2+8.9}{6}$=11.55，
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{1}-\overline{x}）（{z}_{i}-\overline{z}）}{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{-175.5}{1750}$≈-0.10，
由$\widehat{a}$=$\overline{z}$-$\widehat{b}$•$\overline{x}$=15.05≈15，
$\widehat{z}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$=15-0.10x，
线性回归方程为：$\widehat{z}$=15-0.10x，则y关于x的回归方程$\widehat{y}$=${e}^{\frac{\overline{z}}{2}}$=${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$，
∴y关于x的回归方程$\widehat{y}$=${e}^{\frac{\overline{z}}{2}}$=${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$；
（3）年利润L（x）=x•$\widehat{y}$=x•${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$，
求导L′（x）=${e}^{\frac{15-0.10x}{2}}$•（1-x•$\frac{0.10}{2}$），
令导L′（x）=0，解得：x=20，
由函数的单调性可知：当x=20时，年利润的预报值最大，
∴定价为20元/kg时，年利润的预报值最大．

点评 本题考查线性回归方程的应用，考查利用最小二乘法求线性回归方程，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．