Question

13．设a，b∈R，函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+bx+1$，g（x）=e^x（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（-∞，0）内恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出两个函数的导数，利用函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．列出方程即可求解b．
（Ⅱ）求出导函数f'（x）=，通过-1≤a≤1时，当a²＞1时，分别判断导函数的符号，推出函数的单调区间．
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）-f'（x）=e^x-x²-2ax-1，可得h（0）0．求出h'（x）=e^x-2x-2a，令u（x）=h'（x）=e^x-2x-2a，求出导数u'（x）=e^x-2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，求出$a=\frac{1}{2}$．考虑$a≤\frac{1}{2}$的情况，$a＞\frac{1}{2}$的情况，分别通过函数的单调性以及函数的最值，推出a的范围即可．

解答 （Ⅰ）f'（x）=x²+2ax+b，g'（x）=e^x，
由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．…（2分）
（Ⅱ）f'（x）=x²+2ax+1=（x+a）²+1-a²，
当a²≤1时，即-1≤a≤1时，f'（x）≥0，从而函数f（x）在定义域内单调递增，
当a²＞1时，$f'（x）=（{x+a+\sqrt{{a^2}-1}}）（{x+a-\sqrt{{a^2}-1}}）$，此时
若$x∈（{-∞，-a-\sqrt{{a^2}-1}}）$，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增；
若$x∈（{-a-\sqrt{{a^2}-1}，-a+\sqrt{{a^2}-1}}）$，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减；
若$x∈（{-a+\sqrt{{a^2}-1}，+∞}）$时，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增．…（6分）
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）-f'（x）=e^x-x²-2ax-1，则h（0）=e⁰-1=0．h'（x）=e^x-2x-2a，令u（x）=h'（x）=e^x-2x-2a，则u'（x）=e^x-2．
当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，
令u（0）=h'（0）=1-2a=0，得$a=\frac{1}{2}$．
先考虑$a≤\frac{1}{2}$的情况，此时，h'（0）=u（0）≥0；
又当x∈（-∞，0）时，h'（x）单调递减，所以h'（x）＞0；
故当x∈（-∞，0）时，h（x）单调递增；
又因为h（0）=0，故当x＜0时，h（x）＜0，
从而函数g（x）-f（x）在区间（-∞，0）内单调递减；
又因为g（0）-f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在区间（-∞，0）恒成立．
接下来考虑$a＞\frac{1}{2}$的情况，此时，h'（0）＜0，
令x=-a，则h'（-a）=e^-a＞0．
由零点存在定理，存在x₀∈（-a，0）使得h'（x₀）=0，
当x∈（x₀，0）时，由h'（x）单调递减可知h'（x）＜0，所以h（x）单调递减，
又因为h（0）=0，故当x∈（x₀，0）时h（x）＞0．
从而函数g（x）-f（x）在区间（x₀，0）单调递增；
又因为g（0）-f（0）=0，所以当x∈（x₀，0），g（x）＜f（x）．
综上所述，若g（x）＞f（x）在区间（-∞，0）恒成立，则a的取值范围是$（-∞，\frac{1}{2}]$．…（14分）

点评 本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想．