Question

1．如图，A₁，A₂为椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A₁，A₂的三点，直线QA₁，QA₂，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|²+|OT|²=14．

Answer 1

分析 解法一：当Q选在短轴的端点上，取Q（0，$\sqrt{5}$），由于A₁（-3，0），A₂（3，0）根据直线的斜率公式代入椭圆方程，即可求得T点坐标，则|OS|²+|OT|²=7+7=14；
解法二：设直线OS，OT的方程分别为：y=k₁x，y=k₂x，代入椭圆方程求得x₁²=$\frac{45}{5+9{k}_{1}^{2}}$，y₁²=$\frac{45{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$，x₂²=$\frac{45}{5+9{k}_{2}^{2}}$，y₂²=$\frac{45{k}_{2}^{2}}{5+9{k}_{2}^{2}}$，由k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-9}$=-$\frac{5}{9}$，根据两点之间的距离公式即可求得|OS|²+|OT|²的值．

解答 解法一：题目为选择题，可采用特殊点法进行快速计算，
由椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$焦点在x轴上，
当Q选在短轴的端点上，取Q（0，$\sqrt{5}$），
由于A₁（-3，0），A₂（3，0）
则QA₁斜率为k=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
即直线OT为y=$\frac{\sqrt{5}}{3}$x，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{5}}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=±\frac{3}{\sqrt{2}}}\\{y=±\sqrt{\frac{5}{2}}}\end{array}\right.$，可得T点横纵坐标（$\frac{3}{\sqrt{2}}$，$\sqrt{\frac{5}{2}}$）
则由对称可知OS=OT=$\sqrt{\frac{9}{2}}+\frac{5}{2}$=$\sqrt{7}$，
则|OS|²+|OT|²=7+7=14，
故答案为：14．
解法二：设Q（x₀，y₀），S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
则$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}+\frac{{y}_{0}^{2}}{5}=1$，y₀²=$\frac{5}{9}$（9-x₀²），
设直线OS，OT的方程分别为：y=k₁x，y=k₂x，
则${k}_{{A}_{2}Q}$=k₁，${k}_{{A}_{1}Q}$=k₂．
由k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-9}$=-$\frac{5}{9}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，解得：x₁²=$\frac{45}{5+9{k}_{1}^{2}}$，y₁²=$\frac{45{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$，
同理可知：x₂²=$\frac{45}{5+9{k}_{2}^{2}}$，y₂²=$\frac{45{k}_{2}^{2}}{5+9{k}_{2}^{2}}$，
由两点之间的距离公式可知：|OS|²+|OT|²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=$\frac{45（1+{k}_{1}^{2}）}{5+9{k}_{1}^{2}}$+$\frac{45（1+\frac{25}{81{k}_{1}^{2}}）}{5+9×\frac{25}{81{k}_{1}^{2}}}$=$\frac{70+126{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$=14，
故答案为：14．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，直线与椭圆相交弦长问题、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．