Question

14．已知命题p：“函数$f（x）={2^{{x^2}-2x}}+{m^2}-\frac{5m}{2}+\frac{1}{2}$在R上有零点”，命题q：函数f（x）=$\frac{2}{x-m}$在区间（1，+∞）内是减函数，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围为[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的m的范围，根据若p∧q为真命题，取交集即可．

解答 解：函数$f（x）={2^{{x^2}-2x}}+{m^2}-\frac{5m}{2}+\frac{1}{2}$在R上有零点，
即-${2}^{{x}^{2}-2x}$=m²-$\frac{5m}{2}$+$\frac{1}{2}$有解，
令g（x）=-${2}^{{x}^{2}-2x}$≤-$\frac{1}{2}$，
故m²-$\frac{5m}{2}$+$\frac{1}{2}$≤-$\frac{1}{2}$，
解得：$\frac{1}{2}$≤m≤2；
故p为真时：m∈[$\frac{1}{2}$，2]；
函数f（x）=$\frac{2}{x-m}$在区间（1，+∞）内是减函数，
则m≤1，
若p∧q为真命题，则p真q真，
故$\frac{1}{2}≤m≤1$，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查指数函数以及二次函数的性质，是一道中档题．