Question

4．已知在二项式${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中，第6项为常数项．
（1）求n的值，并求含x²项的系数；
（2）求展开式中所有的有理项．

Answer 1

分析 （1）利用通项公式即可得出．
（2）根据通项公式，由题意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{10-2r}{3}∈Z\\ 0≤r≤10，r∈Z.\end{array}$，令$\frac{10-2r}{3}$=k（k∈Z），r=5-$\frac{3}{2}$k．对k取值即可得出．

解答 解：（1）通项公式为T_r+1=C_n^r${x}^{\frac{n-r}{3}}$（-$\frac{1}{2}$）^r${x}^{-\frac{r}{3}}$=C_n^r（-$\frac{1}{2}$）^rx${x}^{\frac{n-2r}{3}}$．
∵第6项为常数项，∴r=5时，有$\frac{n-2r}{3}$=0，即n=10．
令$\frac{n-2r}{3}$=2，得r=$\frac{1}{2}$（n-6）=2．
∴所求的x²项的系数为C₁₀²（-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{45}{4}$．
（2）根据通项公式，由题意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{10-2r}{3}∈Z\\ 0≤r≤10，r∈Z.\end{array}$，
令$\frac{10-2r}{3}$=k（k∈Z），则10-2r=3k，即r=5-$\frac{3}{2}$k．
∵r∈Z，∴k应为偶数．
∴k可取2，0，-2，即r可取2，5，8．
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C₁₀²（-$\frac{1}{2}$）²x²，C₁₀⁵（-$\frac{1}{2}$）⁵，C₁₀⁸（-$\frac{1}{2}$）⁸x^-2．

点评 本题考查了二项式定理的性质及其应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．