Question

6．已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且在区间（0，+∞）单调递增，若f（-2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（-2，0）∪（0，2）．

Answer 1

分析 函数y=f（x）是R上的奇函数，在区间（0，+∞）单调递增即在R上单调递增，f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0，分段讨论x的值，可得不等式xf（x）＜0的解集．

解答 解：函数y=f（x）是R上的奇函数，在区间（0，+∞）单调递增
∴函数y=f（x）在R上单调递增，且f（0）=0
∵f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0．
∴当x＜-2时，f（x）＜0，
当-2＜x＜0时，f（x）＞0，
当0＜x＜2时，f（x）＜0，
当x＞2时，f（x）＞0，
那么：xf（x）＜0，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
∴得：-2＜x＜0或0＜x＜2．
故答案为（-2，0）∪（0，2）．

点评 本题考查了分段函数的奇偶性和单调性的运用，考查了讨论的思想．属于基础题．