Question

18．（1）解不等式：3≤x²-2x＜8；
（2）已知a，b，c，d均为实数，求证：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²．

Answer 1

分析 （1）直接利用二次不等式化简求解即可．
（2）利用作差法化简，证明即可．

解答 解：（1）不等式：3≤x²-2x＜8，
即：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-3≥0}\\{{x}^{2}-2x-8＜0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1或x≥3}\\{-2＜x＜4}\end{array}\right.$，即x∈（-2，-1]∪[3，4）．
（2）证明：∵（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²
=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²-a²c²-2abcd-b²d²
=a²d²+b²c²-2abcd
=（ad-bc）²≥0
∴（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²．

点评 本题考查二次不等式组的解法，作差法证明不等式的方法，考查转化思想以及计算能力．