Question

7．如图，已知半径为1的扇形AOB，∠AOB=60°，P为弧$\widehat{AB}$上的一个动点，则$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$取值范围是[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 结合图形，将$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$代入$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$进行数量积的运算，并代入∠BOP=60°-∠AOP进行化简即可得出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}=sin（∠AOP-30°）$，这样，根据0°≤∠AOP≤60°即可求出sin（∠AOP-30°）的范围，即求出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$的取值范围．

解答 解：$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$
=$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}$
=cos∠BOP-cos∠AOP
=cos（60°-∠AOP）-cos∠AOP
=$\frac{1}{2}cos∠AOP+\frac{\sqrt{3}}{2}sin∠AOP-cos∠AOP$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin∠AOP-\frac{1}{2}cos∠AOP$
=sin（∠AOP-30°）；
0°≤∠AOP≤60°；
∴-30°≤∠AOP-30°≤30°；
∴$-\frac{1}{2}≤sin（∠AOP-30°）≤\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$的取值范围为$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．
故答案为：[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]．

点评 考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，两角和差的正余弦公式，以及不等式的性质，熟悉正弦函数的图象．