Question

6．已知圆O：x²+y²=r²（r＞0），直线l：y=x+1．若圆O上恰有两个点到直线的距离是1，则r的取值范围是1$-\frac{\sqrt{2}}{2}$＜r＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合原点O到直线l：y=x+1的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，数形结合可得满足条件的r的取值范围．

解答 解：如图，

∵原点O到直线l：y=x+1的距离d=$\frac{|1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴以O为圆心，以$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$为半径的圆上仅有一点A到直线l的距离为1，
当圆的半径r$＞1-\frac{\sqrt{2}}{2}$时，开始有两点满足到直线l的距离为1，
到半径增大到为1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，除直线l的右下方有两点满足条件外，左上方的B点也满足到直线l的距离为1．
∴r的取值范围是1$-\frac{\sqrt{2}}{2}$＜r＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：1$-\frac{\sqrt{2}}{2}$＜r＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．