Question

14．记函数f（x）（$\frac{1}{e}$＜x≤e，e=2.71828…是自然对数的底数）的导数为f′（x），函数g（x）=（x-$\frac{1}{\sqrt{e}}$）f′（x）只有一个零点，且g（x）的图象不经过第一象限，当x＞$\frac{1}{e}$时，f（x）+4lnx+$\frac{1}{lnx+1}$＞$\frac{1}{\sqrt{e}}$，f[f（x）+4lnx+$\frac{1}{lnx+1}$]=0，下列关于f（x）的结论，成立的是（　　）

• A． 当x=e时，f（x）取得最小值
• B． f（x）最大值为1
• C． 不等式f（x）＜0的解集是（1，e）
• D． 当$\frac{1}{e}$＜x＜1时，f（x）＞0

Answer 1

分析 设t=f（x）+4lnx+$\frac{1}{lnx+1}$，由f（t）=0，求出t的值，从而求出f（x）的解析式，求出函数f（x）的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值，求出答案即可．

解答 解：∵f[f（x）+4lnx+$\frac{1}{lnx+1}$]=0，
故可设t=f（x）+4lnx+$\frac{1}{lnx+1}$，
即f（x）=-4lnx-$\frac{1}{lnx+1}$+t，
由f（t）=0，得：-4lnx-$\frac{1}{lnx+1}$+t=0，
∴lnt=0或lnt=-$\frac{3}{4}$，
∴t=1或t=${e}^{-\frac{3}{4}}$，
∵t＞$\frac{1}{\sqrt{e}}$，故t=1，
∴f（x）=-4lnx-$\frac{1}{lnx+1}$+1，
则f′（x）=$\frac{1}{x}$[$\frac{1}{{（lnx+1）}^{2}}$-4]，
∵$\frac{1}{e}$＜x≤e，∴-1＜lnx≤1，
故x∈（$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）时，f′（x）＞0，
x∈（$\frac{1}{\sqrt{e}}$，e）时，f′（x）＜0，
∴f（x）_最大值=f（x）_极大值=f（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=1，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，求出函数f（x）的解析式是解题的关键，本题是一道中档题．