Question

4．下列函数中，y的最小值为4的是（　　）

• A． y=x+$\frac{4}{x}$
• B． y=$\frac{2（x+3）}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$
• C． y=sin x+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π）
• D． y=e^x+e^-x

Answer 1

分析 A．x＜0时，y＜0，不成立；
B．x≤-3时，则y≤0，不成立．
C.0＜x＜π，令sinx=t∈（0，1），则y=t+$\frac{4}{t}$，利用导数研究函数单调性即可判断出结论．
D．利用基本不等式的性质即可判断出结论．

解答 解：A．x＜0时，y＜0，不成立；
B．x≤-3时，则y≤0，不成立．
C．∵0＜x＜π，令sinx=t∈（0，1），则y=t+$\frac{4}{t}$，${y}^{′}=1-\frac{4}{{t}^{2}}$＜0，因此函数单调递减，∴y＞5，不成立．
D．y=e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，当且仅当x=0时取等号，成立．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．