Question

13．函数y=cosx•sin2x的最小值为m，函数y=$\frac{tanx}{{2-2{{tan}^2}x}}$的最小正周期为n，则m+n的值为（　　）

• A． $\frac{π}{2}-\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$
• B． $π-\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$
• C． $\frac{π}{2}+\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$
• D． $π+\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$

Answer 1

分析 首先利用倍角公式展开，化余弦为正弦，然后换元，再利用导数求得最小值m，利用二倍角的正切函数公式及正切函数的周期性求得n的值，即可得解．

解答 解：y=cosx•sin2x=2sinx•cos²x=2sinx（1-sin²x）=-2sin³x+2sinx．
令t=sinx（-1≤t≤1）．
∴原函数化为g（t）=-2t³+2t（-1≤t≤1）．
g′（t）=-6t²+2=-2（3t²-1），
∴当t∈[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]时，g′（t）＜0，
当t∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）时，g′（t）＞0，
∴g（t）在[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]上为减函数，在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上为增函数，
∵g（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，g（1）=0．
∴g（t）的最小值为-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，即y=cosx•sin2x的最小值为-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，
又∵函数y=$\frac{tanx}{{2-2{{tan}^2}x}}$=$\frac{1}{4}$tan2x的最小正周期为n，
∴n=$\frac{π}{2}$，
∴m+n=$\frac{π}{2}$-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．
故选：A．

点评 本题考查三角函数的最值，导数的应用，正切函数的周期性，正确换元是解答该题的关键，训练了利用导数求解函数的最值，属中档题．