Question

1．已知直线L被两平行直线L₁：2x-5y+9=0与L₂：2x-5y-7=0所截线段AB的中点恰在直线x-4y-1=0上，圆C：（x+4）²+（y-1）²=25．
（1）证明直线L与圆C恒有两个交点；
（2）当直线L被圆C截得的弦最短时，求出直线方程和最小弦长．

Answer 1

分析 （1）设线段AB的中点为M（a，b），由此列出方程组求出a、b的值；根据圆C的圆心C与点M的距离与半径r的大小即可证明直线L与圆C恒有两个交点；
（2）由直线L被圆C截得的弦最短时直线L⊥MC，求出L的斜率，写出直线方程，再求出最小弦长．

解答 解：（1）证明：设线段AB的中点为M（a，b），
依题意$\left\{\begin{array}{l}a-4b-1=0\\ \frac{|2a-5b+9|}{{\sqrt{29}}}=\frac{|2a-5b-7|}{{\sqrt{29}}}\end{array}\right.$，…（2分）
解得a=-3，b=-1；…（3分）
∵圆C：（x+4）²+（y-1）²=25圆心为C（-4，1），半径r=5；…（4分）
且|MC|=$\sqrt{{[-4-（-3）]}^{2}{+[1-（-1）]}^{2}}$=$\sqrt{5}$＜r，
∴直线L与圆C恒有两个交点；   …（6分）
（2）∵当直线L被圆C截得的弦最短时直线L⊥MC，…（8分）
∴k_L=-$\frac{1}{{k}_{MC}}$=-$\frac{-4-（-3）}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$，
则直线L为$y+1=\frac{1}{2}（x+3）$，
即x-2y+1=0，…（10分）
最小弦长为|EF|=$2\sqrt{{r^2}-|MC{|^2}}=4\sqrt{5}$．…（12分）

点评 本题考查了直线与圆的位置关系的应用问题，也考查了直线垂直以及两点间的距离公式的应用问题，是综合性题目．