Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分a，b，c，c²sinAcosA+a²sinCcosC=4sinB，$cosB=\frac{\sqrt{7}}{4}$，D是AC上一点，且${S}_{△BCD}=\frac{2}{3}$，则$\frac{AD}{AC}$=$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求ac=4，由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式可求S_△ABC，进而利用比例的性质即可得解．

解答 解：∵c²sinAcosA+a²sinCcosC=4sinB，
∴ac²•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+ca²•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=4b，
∴解得：ac=4，
∴$cosB=\frac{\sqrt{7}}{4}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{3}{2}$，
∵$\frac{CD}{AC}=\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{5}{9}$．
故答案为：$\frac{5}{9}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，比例的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．