Question

19．已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=（　　）

• A． $\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）
• B． $\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）
• C． 16（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）
• D． 16（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）

Answer 1

分析 推导出{a_na_n+1}是以8为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，由此能出a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1．

解答 解：∵等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}={a}_{1}q=2}\\{{a}_{5}={a}_{1}{q}^{4}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=4，q=\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}{a}_{n+1}=（4×\frac{1}{{2}^{n-1}}）（4×\frac{1}{{2}^{n}}）$=8×$\frac{1}{{4}^{n-1}}$，
∴{a_na_n+1}是以8为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{8（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）．
故选：A．

点评 本题考查数列有前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．