Question

13．已知在数列{a_n}中，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=4（n≥2，且n∈N*），a₂=4，则使不等式12a_n（$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$）＜2000成立的n的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 在数列{a_n}中，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=4（n≥2，且n∈N*），a₂=4，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=4，可得a₁=1．利用等比数列的通项公式可得a_n=4^n-1．$\sqrt{{a}_{n}}$=2^n-1.12a_n（$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$）=12×4^n-1×（1+2+2²+…+2^n-1）=3×4ⁿ（2ⁿ-1）．不等式12a_n（$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$）＜2000，即f（n）=3×4ⁿ（2ⁿ-1）＜2000．通过对n取值即可得出．

解答 解：∵在数列{a_n}中，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=4（n≥2，且n∈N*），a₂=4，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=4，可得a₁=1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为4，
∴a_n=4^n-1．
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=2^n-1．
12a_n（$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$）=12×4^n-1×（1+2+2²+…+2^n-1）=12×4^n-1×$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=3×4ⁿ（2ⁿ-1）．
不等式12a_n（$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$）＜2000，即f（n）=3×4ⁿ（2ⁿ-1）＜2000．
f（3）=3×4³×7=1344＜2000，f（4）=3×4⁴×15=11520＞2000．
因此使不等式12a_n（$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$）＜2000成立的n的最大值为3．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的定义与通项公式求和公式、数列递推关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．