Question

6．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥-1}\\{x-y≤-1}\\{2x-3y≥-6}\end{array}\right.$
（1）求目标函数z=2x-y的取值范围；
（2）求目标函数z=x²+y²的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过实数x，y满足约束条件直接画出此二一元次不等式组表示的平面区域；直接求出目标函数z=2x-y结果的可行域内的顶点，即可求出z的最大值和最小值；
（2）z=x²+y² 就是可行域内的点到坐标原点距离的平方，求出最大值即可．

解答 解：（1）实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥-1}\\{x-y≤-1}\\{2x-3y≥-6}\end{array}\right.$
的可行域如图：
直线z=2x-y经过$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x-3y=-6}\end{array}\right.$，
当x=3，y=4时z取最大值2；
直线z=2x-y经过$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y=6}\\{x+y=-1}\end{array}\right.$，解得交点B，即x=$-\frac{8}{5}$，y=$\frac{3}{5}$时，z=2x-y取最小值$-\frac{19}{5}$．
z的范围是[$-\frac{19}{5}$，2]．
（2）由可行域可知，A当x=3，y=4时，z=x²+y²取得最大值为3²+4²=25．

点评 本题考查简单的线性规划的应用，考查计算能力与作图能力，以及表达式的几何意义．