Question

18．已知幂函数$y={x}^{{p}^{2}-2p-3}$（p∈N^*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，实数a满足$（{a}^{2}-1）^{\frac{p}{3}}＜（3a+3）^{\frac{p}{3}}$，则a的取值范围是（1，4）．

Answer 1

分析 根据幂函数的性质求出p的值，根据幂函数的单调性得到关于a的不等式解出即可．

解答 解：∵幂函数$y={x}^{{p}^{2}-2p-3}$（p∈N^*）在（0，+∞）上是减函数，
∴p²-2p-3＜0，解得-1＜p＜3，
∵p∈N^*，
∴p=1或2．
当p=1时，y=x^-4为偶函数满足条件，
当p=2时，y=x^-3为奇函数不满足条件，
则不等式等价为$（{a}^{2}-1）^{\frac{p}{3}}＜（3a+3）^{\frac{p}{3}}$，即${{（a}^{2}-1）}^{\frac{1}{3}}$＜${（3a+3）}^{\frac{1}{3}}$，
∵y=x$\frac{1}{3}$在（-∞，0）和（0，+∞）上都为增函数，
∴a²-1＜3a+3＜0或0＜a²-1＜3a+3，
解得：1＜a＜4，
故答案为：（1，4）．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据幂函数的性质求出幂函数的表达式是解决本题的关键．