Question

5．已知函数f（x）=cosx（cosx+$\sqrt{3}$sinx）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=1，b=3，若f（C）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合正弦函数的性质可得最小值．
（Ⅱ）根据f（C）=1，求出C，根据△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$可得答案．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=cosx（cosx+\sqrt{3}sinx）={cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx$=$\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x=\frac{1}{2}+sin（2x+\frac{π}{6}）$
当$sin（2x+\frac{π}{6}）=-1$时，f（x）取得最小值为$-\frac{1}{2}$．
故f（x）的最小值为$-\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=sin（2x$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，
∴$f（C）=\frac{1}{2}+sin（2C+\frac{π}{6}）=1$，
∴$sin（2C+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴$2C+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}）$，
∴$C=\frac{π}{3}$．
∵a=1，b=3，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
所以△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，以及三角形面积的求法；利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．