Question

14．定义有限数集A中的最大元素与最小元素之差为A的“长度”，如：集合A₁={1，2，4}的“长度”为3，集合A₂={3}的“长度”为0．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，则U的所有非空子集的“长度”之和为201．

Answer 1

分析 根据题意，结合集合长度的定义，对集合A的子集分6种情况讨论，每种情况下分析符合条件的子集的数目，进而计算可得答案．

解答 解：根据题意，集合长度的定义，对集合A的子集分类讨论：
①、长度为0的子集，共6个：即{1}、{2}、{3}、{4}、{5}、{6}，
②、长度为1的子集，必须为两个元素的集合，且其元素为相邻的两个自然数，共5个：
即{1，2}、{2，3}、{3，4}、{4，5}、{5，6}，
③、长度为2的子集，即子集中最大最小元素差为2，
其中最小、最大元素有4种情况：即1、3，2、4，3、5，4、6；
每种情况有2个子集，
则共有8个子集，
④、长度为3的子集，即子集中最大最小元素差为3，
其中最小、最大元素有3种情况：即1、4，2、5，3、6；
每种情况有4个子集，
则共有12个子集，
⑤、长度为4的子集，即子集中最大最小元素差为4，
其中最小、最大元素有2种情况：即1、5，2、6；
每种情况有8个子集，
则共有16个子集，
⑥、长度为6的子集，即子集中最大最小元素差为5，
其中最小、最大元素有1种情况：即1、6；
则共有16个子集，
则U的所有非空子集的“长度”之和为：6×0+5×1+8×2+12×3+16×4+16×5=201；
故答案为：201．

点评 本题考查排列、组合的应用，涉及集合的子集的定义，关键是明确集合长度的定义，进而进行分类讨论．