Question

3．设函数f（x）=sinωx•cosωx-$\sqrt{3}{cos^2}ωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（ω＞0）的图象上相邻最高点与最低点距离为$\sqrt{{π^2}+4}$．
（1）求ω的值；
（2）若函数y=f（x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）是奇函数，求函数g（x）=cos（2x-φ）在区间[0，2π]上的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{3}$），设T为f（x）的最小值周期，由题意得${（\frac{T}{2}）^2}+{[2f{（x）_{max}}]^2}={π^2}+4$，结合f（x）_max=1，可求T的值，利用周期公式可求
ω的值．
（2）由题意可求f（x+φ）=sin（x+φ-$\frac{π}{3}$）是奇函数，则sin（φ-$\frac{π}{3}$）=0，结合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可求φ，进而可求函数g（x）的解析式，利用余弦函数的图象和性质可求其单调递减区间，结合范围x∈[0，2π]，即可得解．

解答 解：（1）∵$f（x）=sinωx•cosωx-\sqrt{3}{cos^2}ωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{2}sin2ωx-\frac{{\sqrt{3}（1+cos2ωx）}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}sin2ωx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2ωx=sin（2ωx-\frac{π}{3}）$，
设T为f（x）的最小值周期，由f（x）图象上相邻最高点与最低点的距离为$\sqrt{{π^2}+4}$，得${（\frac{T}{2}）^2}+{[2f{（x）_{max}}]^2}={π^2}+4$，
∵f（x）_max=1，
∴${（\frac{T}{2}）^2}+4={π^2}+4$，整理可得T=2π，
又∵ω＞0，T=$\frac{2π}{2ω}$=2π，
∴ω=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可得f（x）=sin（x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x+φ）=sin（x+φ-$\frac{π}{3}$），
∵y=f（x+φ）是奇函数，则sin（φ-$\frac{π}{3}$）=0，
又∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴g（x）=cos（2x-φ）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），
令$2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+π，（k∈Z）$，则$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3}，（k∈Z）$，
∴单调递减区间是$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]，（k∈Z）$，
又∵x∈[0，2π]，
∴当k=0时，递减区间为$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$；当k=1时，递减区间为$[\frac{7π}{6}，\frac{5π}{3}]$，
∴函数g（x）在[0，2π]上的单调递减区间是$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，$[\frac{7π}{6}，\frac{5π}{3}]$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，余弦函数的图象和性质，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．