Question

20．长度为5的线段AB的两端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM=2，则点M的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 先设M（x，y），A（a，0），B（0，b），根据$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MB}$得x，y的方程，最后根据a²+b²=25得出x，y的关系即M的轨迹方程．

解答 解：设M（x，y），A（a，0），B（0，b），
由$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MB}$得（x-a，y）=$\frac{2}{3}$（-x，b-y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-a=-\frac{2}{3}x}\\{y=\frac{2}{3}（b-y）}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3}{5}a$，y=$\frac{2}{5}$b
∵|AB|=5
∴a²+b²=25
∴$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程．本题主要灵活利用了向量的关系进行解题．