Question

7．M是椭圆$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$上动点，F₁，F₂是椭圆的两焦点，则∠F₁MF₂的最大值为π-arccos$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 求得椭圆的a，b，c，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得∠F₁MF₂最大，此时M为短轴端点．再由余弦定理，计算即可得到所求最大角．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$的a=3，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，
可得∠F₁MF₂最大，此时M为短轴端点．
则cos∠F₁MF₂=$\frac{|M{F}_{1}{|}^{2}+|M{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|M{F}_{1}||M{F}_{2}|}$
=$\frac{9+9-4×8}{2×9×9}$=-$\frac{7}{9}$，
可得∠F₁MF₂的最大值为π-arccos$\frac{7}{9}$．
故答案为：π-arccos$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，注意最大角原理，考查运算能力，属于基础题．