Question

2．已知抛物线y²=-x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．
（1）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值；       
（2）若△OAB的面积等于$\frac{5}{4}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；
（2）直接代入三角形面积公式求解即可

解答 解：（1）设$A（{-{y_1}^2，{y_1}}）$，$B（{-{y_2}^2，{y_2}}）$由题意可知：k≠0，∴$x=-\frac{y}{k}+1$，
联立y²=-x得：ky²+y-k=0显然：△＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{1}{k}}\\{{y}_{1}•{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=（-y₁²）（-y₂²）+y₁y₂=（-1）²+1=0，
（2）∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$×1×|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+4}$=$\frac{5}{4}$，
  解得：k=±$\frac{2}{3}$，
∴直线l的方程为：2x+3y+2=0或2x-3y+2=0．

点评 本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．