Question

7．如图，已知ABCD是边长为1的正方形，Q₁为CD的中点，P_i（i=1，2…，n）为AQ_i与BD的交点，过P_i作CD的垂线，垂足为Q_i+1，则$\sum_{i=1}^{10}$S${\;}_{△D{Q_i}{P_i}}$=$\frac{5}{24}$．

Answer 1

分析 由题意可知：则A（1，1），Q₁（$\frac{1}{2}$，0），D（1，0），B（0，1），则直线BD：x+y=1，直线AQ：y=2x-1，求得P₁（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），则Q₂（$\frac{2}{3}$，0），则直线AQ₂：y=3x-2，P₂（$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$），则Q₃（$\frac{3}{4}$，0），则P_i（$\frac{i+1}{i+2}$，$\frac{1}{i+2}$），Q_i（$\frac{i}{i+1}$，0），根据三角形面积公式，${S}_{△D{Q}_{I}{P}_{I}}$=$\frac{1}{2}$丨DQ_i丨丨P_iQ_i+1丨=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{i}{i+1}$）×$\frac{1}{i+2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{i+1}$-$\frac{1}{i+2}$），采用“裂项法”即可求得$\sum_{i=1}^{10}$S${\;}_{△D{Q_i}{P_i}}$的值．

解答 解：如图，以C点为坐标原点，建立平面直角坐标系，由正方形ABCD边长为1，则A（1，1），Q₁（$\frac{1}{2}$，0），D（1，0），B（0，1），
则直线BD：x+y=1，直线AQ：y=2x-1，
联立可得P₁（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），则Q₂（$\frac{2}{3}$，0），
则直线AQ₂：y=3x-2，
联立直线BD和直线AQ₂，可得P₂（$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$），则Q₃（$\frac{3}{4}$，0），
…
可得P_i（$\frac{i+1}{i+2}$，$\frac{1}{i+2}$），Q_i（$\frac{i}{i+1}$，0），
则${S}_{△D{Q}_{I}{P}_{I}}$=$\frac{1}{2}$丨DQ_i丨丨P_iQ_i+1丨=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{i}{i+1}$）×$\frac{1}{i+2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{i+1}$-$\frac{1}{i+2}$），
$\sum_{i=1}^{10}$S${\;}_{△D{Q_i}{P_i}}$=$\frac{1}{2}$$\sum_{i=1}^{10}$（$\frac{1}{i+1}$-$\frac{1}{i+2}$），
=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{12}$）]，
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{12}$），
=$\frac{5}{24}$，
则$\sum_{i=1}^{10}$S${\;}_{△D{Q_i}{P_i}}$=$\frac{5}{24}$，

点评 本题考查三角形的面积公式，考查数列的应用，考查利用“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．