Question

2．已知函数f（x）=|2x-1|+|x-2a|．
（1）当a=1时，求f（x）≤3的解集；
（2）当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求得函数的解析式，分类当x＞2时，3x-3≤3，则x≤2，不等式无解；当$\frac{1}{2}$≤x≤2时，x+1≤3，则x≤2，当x＜$\frac{1}{2}$时，3-3x≤3，则x≥0，即可求得f（x）≤3的解集；
（2）由|x-2a|≤3-|2x-1|，由x∈[1，2]，即|x-2a|≤4-2x，2x-4≤x-2a≤4-2x，$\frac{3x-4}{2}$≤a≤$\frac{4-x}{2}$，对x∈[1，2]恒成立，当1≤x≤2时，3x-4的最大值2，4-x的最小值为3，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知：当a=1时，原不等式可化为：f（x）=|2x-1|+|x-2a|=$\left\{\begin{array}{l}{3-3x}&{x≤\frac{1}{2}}\\{1+x}&{\frac{1}{2}＜x＜2}\\{3x-3}&{x≥2}\end{array}\right.$，
依题意，当x＞2时，3x-3≤3，则x≤2，不等式无解；当$\frac{1}{2}$≤x≤2时，x+1≤3，则x≤2，
∴$\frac{1}{2}$≤x≤2；
当x＜$\frac{1}{2}$时，3-3x≤3，则x≥0，
∴0≤x＜$\frac{1}{2}$；
综上可知：原不等式的解集为：{x丨0≤x≤2}
（2）原不等式可化为：|x-2a|≤3-|2x-1|，由x∈[1，2]，
∴|x-2a|≤4-2x，即：2x-4≤x-2a≤4-2x，
∴$\frac{3x-4}{2}$≤a≤$\frac{4-x}{2}$，对x∈[1，2]恒成立，
当1≤x≤2时，3x-4的最大值2，4-x的最小值为3，
∴实数a的取值范围：a=1．
实数a的取值范围{1}．

点评 本题考查分段函数的解集，考查含绝对值函数的应用，考查分类讨论思想，不等式的解法，考查计算能力，属于中档题．