Question

12．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且6S_n=3ⁿ⁺¹+a（n∈N⁺）
（1）求a的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（1-an）log₃（a_n²•a_n+1），求$\{\frac{1}{{b}_{n}}\}$的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）等比数列{a_n}满足6S_n=3ⁿ⁺¹+a（n∈N⁺），n=1时，6a₁=9+a；n≥2时，6a_n=6（S_n-S_n-1），可得a_n=3^n-1，n=1时也成立，于是1×6=9+a，解得a．
（2）由（1）代入可得b_n=（1+3n）$lo{g}_{3}{（3}^{2n-2}•{3}^{n}）$=（3n+1）（3n-2），因此$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵等比数列{a_n}满足6S_n=3ⁿ⁺¹+a（n∈N⁺），
n=1时，6a₁=9+a；
n≥2时，6a_n=6（S_n-S_n-1）=3ⁿ⁺¹+a-（3ⁿ+a）=2×3ⁿ．
∴a_n=3^n-1，n=1时也成立，∴1×6=9+a，解得a=-3．
∴a_n=3^n-1．
（2）b_n=（1-an）log₃（a_n²•a_n+1）=（1+3n）$lo{g}_{3}{（3}^{2n-2}•{3}^{n}）$=（3n+1）（3n-2），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．
$\{\frac{1}{{b}_{n}}\}$的前n项和为T_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{n}{3n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式、数列递推关系、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．