Question

16．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB、AC、AA₁三条棱两两互相垂直，且AB=AC=AA₁=2，E、F分别是BC、BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：C₁E⊥平面AEF；
（Ⅱ）求F到平面AEC₁的距离．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理证明EF⊥EC₁，AE⊥EC₁，再根据线面垂直定理可以证明．
（2）方法1：设求F到平面AEC₁的距离为d，由等体积法${V}_{F-AE{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-FAE}$，即可求出d，
方法2，判断出EF即为点F到面AEC₁的距离，即可求出．

解答 解：（1）连接FC₁、AC₁，由已知可得
$BC=2\sqrt{2}，C{C_1}=2，{C_1}E=\sqrt{6}，AE=\sqrt{2}，A{C_1}=2\sqrt{2}，EF=\sqrt{3}，F{C_1}=3$，
∴$F{C_1}^2=E{F^2}+E{C_1}^2，A{C_1}^2=A{E^2}+E{C_1}^2$，
∴EF⊥EC₁，AE⊥EC₁，
又∵EF、AE?面AEF，EF∩AE=E，
故C₁E⊥平面AEF
（2）方法1：由已知得$AF=\sqrt{5}$，
∴AF²=EF²+AE²，
∴EF⊥AE，
由（1）知C₁E⊥平面AEF，则C₁E为三棱锥C₁-AEF的高，
设求F到平面AEC₁的距离为d，由等体积法${V}_{F-AE{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-FAE}$，
∴$\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}×AE×{C_1}E}）×d=\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}×AE×EF}）×{C_1}E$，
∴$\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}}）×d=\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}}）×\sqrt{6}$，
∴$d=\sqrt{3}$，即F到平面AEC₁的距离为$\sqrt{3}$．
方法2：${C_1}E=\sqrt{6}，AE=\sqrt{2}，AF=\sqrt{5}，EF=\sqrt{3}，F{C_1}=3$，
∴$E{F^2}+A{E^2}={（{\sqrt{3}}）^2}+{（{\sqrt{2}}）^2}={（{\sqrt{5}}）^2}=A{E^2}$，
∴EF⊥AE，
∴$E{F^2}+{C_1}{E^2}═{（{\sqrt{3}}）^2}+{（{\sqrt{6}}）^2}={3^2}={C_1}{F^2}∴EF⊥{C_1}E$，
又∵C₁E、AE?面AEF，C₁E∩AE=E，
∴EF⊥面AEC₁，
∴EF即为点F到面AEC₁的距离，$EF=\sqrt{3}$，
即F到平面AEC₁的距离为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查了点到直线的距离，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．