Question

8．若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为（　　）

• A． 34π
• B． $\frac{80π}{3}$
• C． $\frac{91}{3}π$
• D． 114π

Answer 1

分析 作出直观图，求出三棱锥的外接球的半径，即可求出几何体的外接球的表面积．

解答 解：如图，设底面正△BCD外接圆的圆心O₁，其半径${r_1}={O_1}B=\frac{2}{3}×2\sqrt{3}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$；
设侧面等腰△ACD外接圆的圆心O₂，
则在Rt△O₂CH中，r₂=O₂A=O₂C=4-O₂H，
由${（{4-{O_2}H}）^2}={O_2}{H^2}+{2^2}$得${O_2}H=O{O_1}=\frac{3}{2}$，
所以${R^2}=O{B^2}=OO_1^2+{O_1}{B^2}=\frac{91}{12}$，
则此三棱锥的外接球的表面积为$4π{R^2}=\frac{91}{3}π$，
故选C．

点评 本题考查三视图，考查几何体的外接球的表面积，正确求出三棱锥的外接球的半径是关键．