Question

14．已知函数f（x）=3x-2mx²-3ln（x+1），其中m∈R
（1）若x=1是f（x）的极值点，求m的值；
（2）若0＜m＜$\frac{3}{4}$，求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）在[0，+∞）上的最小值是0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出m的值即可；
（2）求出函数的导数，根据m的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（3）求出函数的导数，通过讨论m的范围确定函数的单调性，从而得到m的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=3x-2mx²-3ln（x+1）的定义域是（-1，+∞），
f′（x）=3-4mx-$\frac{3}{x+1}$，f′（1）=3-4m-$\frac{3}{2}$=0，解得：m=$\frac{3}{8}$；
（2）f′（x）=3-4mx-$\frac{3}{x+1}$=$\frac{-4{mx}^{2}+（3-4m）x}{x+1}$，
∵0＜m＜$\frac{3}{4}$，∴$\frac{3-4m}{4m}$＞0，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{3-4m}{4m}$或x＜0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{3-4m}{4m}$，
故f（x）在（-1，0）递减，在（0，$\frac{3-4m}{4m}$）递增，在（$\frac{3-4m}{4m}$，+∞）递减；
（3）f′（x）=3-4mx-$\frac{3}{x+1}$=$\frac{-4{mx}^{2}+（3-4m）x}{x+1}$，
由（2）得：m＞0时，显然不合题意，
m=0时，f′（x）=$\frac{3x}{x+1}$，f（x）在[0，+∞）递增，
f（x）的最小值是f（0）=0，符合题意，
m＜0时，f′（x）＞0，f（x）在[0，+∞）递增，
f（x）的最小值是f（0）=0，符合题意，
故m≤0．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．