Question

9．设定点A（0，1），常数m＞2，动点M（x，y），设$\overrightarrow p=（{x+m，y}）$，$\overrightarrow q=（{x-m，y}）$，且$|{\overrightarrow p}|-|{\overrightarrow q}|=4$．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设直线L：$y=\frac{1}{2}x-3$与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{9}{2}$？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据向量的表达式，可推断出点M（x，y）到两个定点F₁（-m，0），F₂（m，0）的距离之差4，根据双曲线的定义判断出其轨迹为双曲线，进而根据c和a，求得b，则其方程可得．
（2）设将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量数量积的坐标公式即可求得m值，从而解决问题．

解答 解：（1）由题意，$\sqrt{（x+m）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}$=4＜2m，
∴动点M的轨迹是以（-m，0），（m，0）为焦点的双曲线的右支，方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-4}$=1（x≥2）；
（2）由直线L：$y=\frac{1}{2}x-3$与点M的轨迹方程，联立可得（m²-5）x²+12x-36-4（m²-4）=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{12}{{m}^{2}-5}$，x₁x₂=$\frac{-4{m}^{2}-20}{{m}^{2}-5}$，
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{9}{2}$，
∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{5}{4}$x₁x₂-2（x₁+x₂）+16=$\frac{9}{2}$，
∴m²=9，m=±3，
∵m≥2，∴m=3
检验m=3时x₁+x₂=-3＜0，所以不存在m．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．