Question

6．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦点为F（c，0）．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；
（2）经过原点且倾斜角为30°的直线l与双曲线右支交于点A，且△OAF是以AF为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率e的值．

Answer 1

分析 （1）双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，即可求出a，b的值，问题得以解决，
（2）先求出点的坐标，再代入双曲线方程，结合结合c²=a²+b²，然后建立a，c的方程，从而求出双曲线的离心率．

解答 解：（1）由题可知a=b，所以c=$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$b=2，
则a=b=$\sqrt{2}$，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
（2）由题|OA|=c，又OA的倾斜角为30°，所以A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，$\frac{1}{2}$c），
代入双曲线方程有$\frac{3{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，
结合c²=a²+b²，可得3c⁴-8a²c²+4a⁴=0，
解得e²=2或e²=$\frac{2}{3}$（舍去）
解得e=$\sqrt{2}$

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用，是中档题