Question

1．设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（a＞0），命题q：实数x满足$\frac{x-3}{x-2}≤0$．
（1）若命题p的解集为P，命题q的解集为Q，当a=1时，求P∩Q；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出P，Q，求出P，Q的交集即可；
（2）分别求出￢p，￢q，根据￢p是￢q的充分不必要条件，求出a的范围即可．

解答 解：（1）若a=1，由x²-4x+3＜0得：1＜x＜3，∴P=（1，3）--------------（2分）
由$\frac{x-3}{x-2}$≤0得：2＜x≤3；∴Q=（2，3]-------------------------------------------------------------（4分）
∴P∩Q=（2，3）---------------------------------------（5分）
（2）￢q为：实数x满足x≤2，或x＞3；
￢p为：实数x满足x²-4ax+3a²≥0，并解x²-4ax+3a²≥0得x≤a，或x≥3a-----------------（7分）
￢p是￢q的充分不必要条件，所以a应满足：a≤2，且3a＞3，解得1＜a≤2---------------（9分）
∴a的取值范围为：（1，2]----------------------------------（10分）

点评 本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题以及集合的运算，是一道中档题．